8. Ljapunov-Diagramme und Fraktale

Wenn man die Ljapunov-Exponenten der Verhulstgleichung für 0.7 < λ < 1 ausrechnet und mit dem Feigenbaumdiagramm in diesem Bereich vergleicht, kann man sehr gut erkennen, dass der Ljapunov-Exponent genau die oben genannten Eigenschaften hat:
Ljapunov-Exponent von f(x) für 0.7 < λ < 1.0 über dem entsprechenden Feigenbaumdiagramm

Bild 20:Ljapunov-Exponent (rot) von f(x) für 0.7 < λ < 1.0 über dem entsprechenden Feigenbaumdiagramm; im Bereich der Ordnung ist er negativ, bei Bifurkation null und beim Auftreten von seltsamen Attraktoren (Chaos) positiv.

Auch die Fenster der Ordnung sind eindeutig zu erkennen, hier wird der Ljapunov-Exponent wieder negativ. Mit dem Ljapunov-Exponenten kann man jetzt auch rechnerisch veranschaulichen, dass das System für λ > λc zwar chaotisch wird, dieser chaotische Bereich jedoch seinerseits immer wieder von Abschnitten höheren Ordnungsgrades unterbrochen wird ("weiße Fenster").

Eine weitere Anwendung des Ljapunov-Exponenten ist nicht nur mathematischer, sondern gleichzeitig auch noch ästhetischer Natur. Mit Hilfe des Ljapunov-Exponenten lassen sich sehr bizarre, aber ansprechende Grafiken erzeugen: Man trägt zwei Parameter λ1 und λ2 auf der x-, beziehungsweise y-Achse eines Koordinatensystems an. Jeder Punkt des Koordinatensystems (beziehungsweise Bildpunkt auf dem Monitor) entspricht also einer Kombination von zwei Werten λ1 und λ2. Nun iteriert man die Gleichung zunächst mit λ1, wechselt jedoch nach einigen Iterationen von λ1 zu λ2. Nach weiteren Iterationen, mit λ2, wechselt man wieder zu λ2 und so weiter...
Dieses Iterieren mit wechselnden Parametern kann nach einem frei wählbaren Schema geschehen, zum Beispiel mit λ1λ1λ2λ1λ2λ2 (Rechenbeispiel zum Verständnis siehe Anhang 1, Rechnung 2). Dies macht man nun für alle möglichen Kombinationen von λ1 und λ2 zwischen 0 und 1 und lässt den Computer sämtliche Ljapunov-Exponenten der Systeme ausrechnen. Je nach dem ob der Ljapunov-Exponent positiv oder negativ wird (das System geordnetes oder chaotisches Verhalten zeigt), kann man die Bildpunkte unterschiedlich einfärben und bekommt dann Muster wie das folgende:
Ljapunov-Diagramm für das Iterations-Schema λ1λ1λ2λ1λ2λ2

Vergrößern (131KB)

Bild 21:Ljapunov-Diagramm für das Iterations-Schema λ1λ1λ2λ1λ2λ2

Da der Wert des Ljapunov-Exponenten meistens zwischen -1 und 1 liegt ist die Farbkodierung wie folgt gewählt:
Für L<-1 (=>"sehr geordnet") wird der Bildpunkt weiß gefärbt,
für -1<L<-0.01 (=>geordnet) in verschiedenen Grüntönen,
für -0.01<L<0.01 (=>Bifurkation) rot und
für 0.01<L<1 (=>Chaos) in unterschiedlichen Lilatönen.

Diese Grafik sieht nun nicht mehr nach Mathematik aus, aber sie ist nur aus einer mathematischen Gleichung entstanden!
Das besondere an diesem Gebilde ist, dass es dort, wo die Ordnung ins Chaos übergeht (rechts oben) eine sehr feine Struktur besitzt. Wenn man an diesen Stellen das Bild vergrößert, bekommt man immer wieder eine unendlich feine Struktur zu sehen, die nie zu einer endgültige Grenze wird, egal wie stark man vergrößert. Strukturen mit dieser Eigenschaft, dass sie keine endgültige Grenzlinie aufweisen, heißen Fraktale. Geometrisch gesehen haben solche Figuren, wenn sie zusammenhängend sind, einen endlichen Flächeninhalt, aber eine unendliche Oberfläche. Fraktale haben auch immer die Eigenschaft der Selbstähnlichkeit, das heißt "dass jedes kleine Stück des Fraktals die Struktur des Gesamtobjekts hat."[6]
Eines der besten Beispiele für Selbstähnlichkeit ist die Mandelbrotmenge, auch als "Apfelmännchen" bekannt. Sie entsteht aus der Gleichung:
zn+1=zn2+c
wobei z und c komplexe Zahlen sind:
Die Mandelbrotmenge

Vergrößern (154KB)

Bild 22:Die Mandelbrotmenge ("Apfelmännchen"); eines der bekanntesten Fraktale; die Selbstähnlichkeit ist gut zu erkennen.

Bereits am Gesamtbild kann man erkennen, dass an dem "Bauch" der Figur eine große Zahl vieler kleinerer "Köpfe" hängt. Die folgenden Bilder sind jeweils Vergrößerungen des weiß eingerahmten Bereiches des vorigen Bildes und sollen sowohl die unendlich feine Struktur als auch die Selbstähnlichkeit Illustrieren:
Zoom in die Mandelbrotmenge 1

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Bild 23

Zoom in die Mandelbrotmenge 2

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Bild 24

Zoom in die Mandelbrotmenge 3

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Bild 25

Zoom in die Mandelbrotmenge 4

Vergrößern (469KB)

Bild 26

Bild 23-26: Ausschnittsweise Vergrößerungen der Mandelbrotmenge; Bild 23 ist die Vergrößerung des weißen Kästchens in Bild 22; die Bilder 24-26 sind ebenfalls jeweils Vergrößerungen des weiß markierten Bereichs im jeweils vorigen Bild; die leichte Verschwommenheit des letzten und vorletzten Bildes kommt von der beschränkten Rechengenauigkeit des Computers.

Wie man sieht kehrt das "Apfelmännchen" auch bei beliebiger Vergrößerung immer wieder als Struktur zurück.
Auch das Feigenbaumdiagramm ist ein Fraktal. Es besitzt sowohl eine unendlich feine Struktur als auch die Eigenschaft der Selbstähnlichkeit: bei λc, an der Grenze zwischen Ordnung und Chaos, kann man beliebig stark vergrößern und wird immer wieder den Vorgang der Bifurkation beobachten. Auch muss die Struktur selbstähnlich sein, denn genau das sagen die beiden Feigenbaumkonstanten aus: die Bifurkationen erfolgen in regelmäßigen Abständen(δ), und die Verdichtung der Fixpunktpaare ist konstant(α). Zur Veranschaulichung hier auch einige Vergrößerungen des Feigenbaumdiagramms:
Zoom in das Feigenbaumdiagramm 1

Bild 27

Zoom in das Feigenbaumdiagramm 2

Bild 28

Zoom in das Feigenbaumdiagramm 3

Bild 29

Zoom in das Feigenbaumdiagramm 4

Bild 30

Bild 27-30: Vergrößerungen des Feigenbaumdiagramms in der Umgebung von λc; Bild 27 ist die Vergrößerung des roten Kästchens in Bild 20; 28-30 sind Vergrößerungen des roten Kästchens im jeweils vorigen Bild; das 'Lichterwerden' des Diagramms hat mit ungenauen Berechnungen des Computers zu tun.

Die Tatsache, dass das Feigenbaumdiagramm fraktale Eigenschaft besitzt, ist ein Beweis für die sensitive Abhängigkeit des Systems von den Anfangsbedingungen. Denn wenn es keine endgültige Grenze gibt, ab der Chaos auftritt, so kann eine winzige Veränderung des Parameters die Entwicklung des Systems völlig verändern.
Während, interessanterweise, die meisten Fraktale einen gewissen ästhetischen Reiz haben, besitzen einige von ihnen eine noch viel verblüffendere Eigenschaft. Sie sehen aus wie echte, natürliche Gegenstände, wie zum Beispiel ein Farn:
Farn-Fraktal

Vergrößern (153KB)

Bild 31:Mit dem Computer erstellter Farn;[7] auch diese Grafik entsteht aus mathematischen Gleichungen.

Die große Ähnlichkeit von mathematisch erstellten Grafiken und realen Objekten deutet auf einen tieferen Zusammenhang hin und ist ein Grund, die Chaostheorie als wichtige naturwissenschaftliche Theorie anzuerkennen. Wie dieser Zusammenhang genau beschreibbar ist, ist jedoch immer noch eine unbeantwortete Frage.
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