7. Der Ljapunov-Exponent

Diese Eigenschaft, dass sich benachbarte Trajektorien im chaotischen Regime von einander entfernen, beschreibt der Ljapunov-Exponent. Er ist ein Maß für die Ordnung und Sensibilität eines dynamischen Systems. Dabei geht man von zwei 'ähnlichen' Startwerten x0 und y0 aus, wobei gilt y0= x0 + ε mit ε gegen Null. Mit diesen zwei Startwerten iteriert man nun und berechnet ein Maß dafür, wie weit sich die Trajektorien von einander entfernt haben:
Maß für die 'Entfernung' zweier Trajektorien = l
Wenn sich die Trajektorien nach einer Iteration näher bei einander befinden, also Zähler kleiner Nenner gilt, wird l negativ (da ln(x<1)=neg.). Ändert sich der Abstand nicht, also Zähler gleich Nenner, wird l=0 (da ln(1)=0). Entfernen sich die Trajektorien voneinander, gilt also Zähler größer Nenner, so wird l positiv (da ln(x>1)=pos.). Wiederholt man dies nun für N Iterationen, addiert die jeweiligen Werte von l und bildet am Ende den Durchschnitt der Werte für l, so kommt man auf folgende Formel für den Ljapunov-Exponenten:
Maßzahl für die durchschnittliche Veränderung der Trajektorienabstände = L
Da sich in einem geordneten System, das einen oder mehrere Fixpunkt Attraktoren hat, die Trajektorien annähern, ist für ein geordnetes System LN < 0. In einem chaotischen System entfernen sich die Trajektorien jedoch sehr schnell von einander, LN ist hier also größer null.
Da yn+1=f(yn) und xn+1=f(xn), kann man auch schreiben:
l mit Funktionswerten
Mit y0 = x0 + ε und ε gegen Null gilt dann:
l mit Limes y gegen x und Anwendung der Ableitungsformel
und damit:
L nach 'Ableitung'
Um L nun vom Startwert unabhängig zu machen, muss man nun noch den Grenzwert Limes N gegen unendlich bilden und erhält somit die allgemeine Definition des Ljapunov-Exponenten:
Allgemeine Definition des Ljapunov-Exponenten L
Diese Formel ist zwar schwieriger zu handhaben, jedoch sieht man hier sehr gut, dass der Ordnungsgrad eines dynamischen Systems mit der Steigung, beziehungsweise der Ableitung f'(x) der Funktion zu tun hat. Dadurch hat der Ljapunov-Exponent die Eigenschaft, dass er bei genau den Parameterwerten null wird, bei denen Bifurkation auftritt.

(Zur Erinnerung: Bifurkation => |(x*)|=45 => |f'(x)|=1 => ln1=0 => L=0)
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