6. Kausalität

Nun stellt sich jedoch die Frage, warum dieses Chaos überhaupt als Chaos bezeichnet wird, wenn es doch nur scheinbar einer höheren, noch nicht entdeckten Ordnung folgt? Was zeichnet denn das Chaos überhaupt als solches aus?
Diese Frage lässt sich am besten über einen Umweg beantworten, nämlich indem man sich klar macht, warum der Bereich der Ordnung als ordentlich bezeichnet wird; mit Ordnung ist nämlich hier vor allem Vorhersagbarkeit gemeint. Um auf das Beispiel der Mäuse zurück zu kommen: Was passiert, wenn man eine gewisse Anzahl Mäuse hat und sie sich ungehindert - beziehungsweise nur durch die vorgegebenen Bedingungen eines begrenzten Lebensraums beeinflusst - vermehren lässt?
Wie wir festgestellt haben, stellt sich bei einem Wachstumsfaktor λ < λc, nach einiger Zeit eine bestimmte, für jeden Wert von λ charakteristische 'Gleichgewichts-Population' ein, welche vom Startwert, also der Zahl der Mäuse zu Beginn, unabhängig ist. Diese kann auch die Form eines Zyklus annehmen, dann wechseln sich eben zwei oder mehr Populationszahlen periodisch ab. Egal mit wie vielen Mäusen man anfängt, es stellt sich immer wieder die 'Gleichgewichts-Population' ein. Mathematisch ist dies zwar nicht ganz korrekt, da sich die Trajektorien asymptotisch an den oder die jeweiligen Fixpunkt(e) annähern, aber bei häufigem Iterieren werden sie so ähnlich, dass sie, je nach Rechengenauigkeit kaum mehr zu unterscheiden sind. Die Gleichung genügt also sowohl dem schwachen wie dem starken Kausalitätsprinzip. Das schwache Kausalitätsprinzip besagt, dass gleiche Ursachen immer gleiche Wirkungen haben, ein gewisser Vorgang also bei identischen Anfangsbedingungen immer gleich abläuft. Das starke Kausalitätsprinzip dehnt dies nun aus und besagt, dass ähnliche Ursachen ähnliche Wirkungen haben. Demnach läuft ein gewisser Vorgang also auch unter nicht ganz gleichen Anfangsbedingungen zumindest ähnlich ab wie der vorhergehende.
Dieses starke Kausalitätsprinzip ist für die experimentelle Naturwissenschaft von enormer Bedeutung, da hiervon die Wiederholbarkeit von Experimenten abhängt. Zwei Experimente können nie unter exakt identischen Anfangsbedingungen durchgeführt werden, da die Messgenauigkeit immer begrenzt ist. Wenn also eine minimale Ungenauigkeit in den Anfangsbedingungen eines Experiments einen großen Unterschied bei dessen Verlauf zur Folge haben könnte, das starke Kausalitätsprinzip also außer Kraft gesetzt würde, wäre jeder Versuch, mit Experimenten etwas herauszufinden oder nachzuweisen, von vornherein zum Scheitern verurteilt. Auch die Statistik wäre damit jeglicher Aussagekraft beraubt.
Jedoch passiert für Parameterwerte größer als λc genau dies. Die Trajektorien zweier, nur minimal voneinander abweichender Startwerte x0 können sich nach wenigen Iterationen bereits weit voneinander entfernt haben. Das starke Kausalitätsprinzip hat im chaotischen Regime keine Geltung mehr und die Trajektorien sind hoch sensitiv von den Anfangsbedingungen abhängig. Chaotisches Verhalten heißt in diesem Zusammenhang also, dass ein System unvorhersehbar wird auf Grund einer hohen Sensitivität gegenüber den Anfangsbedingungen.
f(x) mit a=4 und 15 Iterationen mit Startwert=0.3

Bild 18

f(x) mit a=4 und 15 Iterationen mit Startwert=0.301

Bild 19

Bild 18+19: f(x)=4.0x(1-x) mit Iteration bis x15; der Startwert xo ist in beiden Graphen kaum zu unterscheiden. Trotzdem ist das System nach 15 Iterationen mit xo=0.3 (Bild 18) an einer ganz anderen Stelle angelangt als mit xo=0.301 (Bild 19).

In den beiden Abbildungen oben ist a=4 (λ=1), links ist xo=0.3 rechts ist xo=0.301. Man sieht, dass die Trajektorien nach 15 Iterationen bei völlig unterschiedlichen Werten angekommen sind.
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