5. Das deterministische Chaos

Für Parameterwerte größer als λc (oder a) passiert nun etwas ziemlich Unerwartetes: es gibt keinen Zyklus mehr, auf den das System zustrebt.
Chaotisches Verhalten bei a=3.6

Bild 11:f(x)=3.6x(1-x) mit Iteration bis x150; das System strebt auf keinen Zyklus mehr zu; chaotisches Verhalten tritt auf.

Stattdessen "irrt" die Trajektorie scheinbar zufällig in einem begrenzten Gebiet herum, ohne jedoch irgendwann in einem Zyklus zu enden. Dieses "Gebiet" wird mit steigendem λ immer größer, bis es schließlich für λ=1 (a=4) sämtliche Werte zwischen 0 und 1 erfasst.
Man bezeichnet dieses "Gebiet" als seltsamen Attraktor: "Attraktor", da sich alle Trajektorien auf dieses Gebiet "zusammenziehen" und "seltsam", weil es keinen Zyklus oder genau definierbaren Bereich darstellt. Die Folge der xn-Werte einer Trajektorie in diesem Gebiet folgt keinem erkennbaren Schema. Sie ist chaotisch.
Da die Gleichung, aus der das Chaos entsteht, deterministisch ist, das heißt dass es in der Gleichung keine Zufallszahlen gibt und sich jeder Wert der Gleichung berechnen lässt, spricht man hier von deterministischem Chaos.

Diese Entwicklung bei der Iteration der logistischen Wachstumsfunktion ist jedoch kein Einzelfall, sondern lässt sich auch bei anderen nichtlinearen Funktionen beobachten. Um dies zu zeigen, wird im folgenden auch auf die Funktion:
nichtlinieare Sinusfunktion h(x)
eingegangen:
h(x) für λ=0.6

Bild 12: h(x)=0.6新in(π暖) mit Iteration bis x100.

h(x) für λ=0.9

Bild 13: h(x)=0.9新in(π暖) mit Iteration bis x200.

Bild 14(unten): h(x)=0.8新in(π暖) mit Iteration bis x100.

h(x) und h(h(x)) für λ=0.8

Bild 15: h(h(x)), die Iterierte von h(x)=0.8新in(π暖).

Bild 12-15: Grafiken zur Funktion h(x)=λ新in(π暖); auch hier konvergiert das System zunächst auf einen Fixpunkt (Bild 12), dann auf einen Attraktor-Zyklus (Bild 14) und 'endet' schlie羦ich im Chaos eines seltsamen Attraktors (Bild 13).

Um den Übergang von Ordnung zum Chaos graphisch zu veranschaulichen, verwendet man das sogenannte Feigenbaumdiagramm. Bei diesem wird auf der Abszisse der λ-Wert und auf der Ordinate der oder die zugehörigen x-Werte des (Fixpunkt-, zyklischen- oder seltsamen-) Attraktors angetragen. Für 0.7 kleiner-gleich λ kleiner-gleich 1 (2.8 kleiner-gleich a kleiner-gleich 4) ergeben sich für f(x) und h(x) folgende Feigenbaumdiagramme:
Feigenbaumdiagramm von f(x)

Bild 16: Feigenbaumdiagramm von f(x) f¨r 0.7 kleiner-gleich λ kleiner-gleich 1.

Feigenbaumdiagramm von h(x)

Bild 17: Feigenbaumdiagramm von f(x) für 0.7 kleiner-gleich λ kleiner-gleich 1.

Die Bifurkationen sind bei beiden Diagrammen deutlich zu erkennen und man sieht auch, dass diese immer 'schneller' aufeinander folgen, wie es durch die Feigenbaumkonstante δ beschrieben ist. Doch der Verlauf des Diagramms für Parameterwerte λ > λc ist eher unerwartet. Es gibt zwar zunächst keine endlichen Endzustände mehr, es stellt sich also kein Gleichgewicht mehr ein, dennoch sieht das Diagramm nicht wirklich völlig chaotisch oder ungeordnet aus. Besonders deutlich wird dies in den 'weißen Fenstern', die immer wieder auftauchen. In diesen Bereichen treten plötzlich wieder Attraktor-Zyklen auf, die allerdings diesmal andere Periodenzahlen aufweisen. Im größten dieser Fenster sind es beispielsweise 3er Zyklen. Auch diese Fixpunkte bifurkieren wieder und bilden dann Zyklen der Periode 6,12,24,..., bis auch hier wieder Chaos einsetzt. Das Chaosregime bei Parametern größer als λc wird also von Fenstern der Ordnung unterbrochen. Die Regelmäßigkeit des Auftretens dieser Fenster weist auf eine tiefere Ordnung im Chaos hin. Was das genau zu bedeuten hat und welche Folgerungen man daraus ziehen kann, ist bis heute nicht eindeutig geklärt. Doch das Vorhandensein von Universalkonstanten wie α und δ auf dem 'Weg ins Chaos', die Existenz von seltsamen Attraktoren und die sichtbare Regelmäßigkeit des Feigenbaumdiagramms lassen die Vermutung zu, dass das Chaos in einem deterministischen System nicht völlig strukturlos ist. "Das Chaos ist organisiert."
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