4. Die Feigenbaumzahlen

Im folgenden Diagramm sind einige Parameterwerte, bei denen Bifurkation auftritt, angegeben (links):
Parameterwerte bei denen Bifurkation auftritt

Bild 10: Diagramm der x-Koordinaten der Fixpunkte im superstabilen Zustand für die ersten sechs Parameterwerte bei denen es zu Bifurkation kommt.[3]

Das Diagramm zeigt, an welcher Stelle sich die Fixpunkte befinden, kurz bevor sie sich spalten. An diesem Punkt heißen sie superstabile Fixpunkte. Hier sieht man, dass der Abstand zwischen zwei Fixpunkt-Paaren immer kleiner wird. Diese 'Verdichtung' der Fixpunkte ist konstant und beträgt α2.5029078750958928485..., das heißt dass jede neue 'Fixpunktgeneration' ungefähr 2.5 mal dichter gepackt ist als die vorhergehende. Dass dieses Verhältnis immer gleich ist, kann man besonders gut daran erkennen, dass der eingerahmte Abschnitt der 6. Zeile eine genaue, wenn auch verkleinerte Kopie der 4. Zeile ist.
Auch der Abstand zwischen zwei Parametern a, bei denen Bifurkation auftritt, wird immer kleiner. Genauer: er wird immer um das δ4.66920160910299097...-fache kleiner. Die Zahlen α und δ wurden 1978 von Mitchell J. Feigenbaum gefunden. Sie sind Universalkonstanten, das heißt dass sie bei den verschiedensten Prozessen und Gleichungen auftreten. Mit der Feigenbaum-Konstante[4] kann man nun berechnen, auf welchen Wert die Folge von Parametern a (oder λ) zustrebt, bei denen Bifurkation auftritt, denn dieser ist nicht, wie man vielleicht vermuten könnte, 4 (der maximale Wert von a) sondern a3.5699456 (λc0.8924864). Bis ac) erfolgt die Periodenverdopplung der Attraktor-Zyklen 'immer schneller'.[5]
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