3. Attraktoren

In Bild 2 (s. Kapitel 2) sieht man, dass das System auf einen bestimmten Punkt zustrebt, und zwar den Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der Winkelhalbierenden des 1.Quadranten. Dies ist auch nicht verwunderlich, denn an genau diesem Punkt gilt ja xn+1=xn, das heißt die Population verändert sich nicht mehr, sondern bleibt stabil. Für a=2.8 ist dieser Punkt an der Stelle x*0.6428571428571... Da an diesem Punkt das System stabil, also im Gleichgewicht ist und sich ohne äußere Einwirkung nicht mehr verändert, heißt x* Fixpunkt.
Das Besondere an diesem Fixpunkt ist, dass die Folge xn+1=2.8xn(1-xn) immer auf diesen Wert zustrebt, egal von welchem x0 ε ]0,1[ man ausgeht. Genaugenommen wird dieser Wert nie wirklich erreicht, sondern das System nähert sich nur asymptotisch an diesen Punkt an. Es hängt von der Rechengenauigkeit des Computers ab, wie oft man Iterieren muss, bis das System den Fixpunkt 'erreicht'. Die folgenden Grafiken zeigen die Entwicklung des Systems für verschiedene Startwerte:
Startwert=0.0010

Bild 3

Startwert=0.08

Bild 4

Startwert=0.68

Bild 5

Startwert=0.91

Bild 6

Bild 3-6: f(x)=2.8x(1-x) mit Iteration bis x50 für vier verschiedene Startwerte x0; alle Systeme konvergieren zum Punkt x* an der Stelle x*0.642857.

Wie man sieht, zieht der Punkt x* sämtliche Trajektorien zu sich hin, er ist ein sogenannter Attraktor, genauer ein Fixpunkt Attraktor.
Doch wie kommt das? Warum werden alle Trajektorien von diesem Punkt 'angezogen'? Nun, wir haben festgestellt, dass x* nicht irgendein beliebiger Punkt ist, sondern der Punkt der Funktion, an dem sie die Winkelhalbierende schneidet. Dass die Trajektorie sich, wenn sie einmal dort ist, nicht mehr ändert, ist einleuchtend, da hier f(x)=x also xn+1=xn ist. Doch es gibt noch einen weiteren Punkt, für den dies gilt, nämlich den Ursprung. Auch hier gilt xn+1=xn, er ist also auch ein Fixpunkt. Doch die Funktion fixiert sich nur dort, wenn x0=0 gesetzt wird. Schon bei einer minimalen Abweichung von 0 stellt sich letztlich das Gleichgewicht immer bei x* ein. Man muss zwar häufiger Iterieren, je kleiner x0 gewählt wird, doch auch für x0=110-20 stellt sich nach circa 120 Iterationen das Gleichgewicht bei x* ein. Der Ursprung ist also auch ein Fixpunkt, jedoch kein Attraktor, sondern ein sogenannter Repulsor. Von ihm 'entfernen' sich alle Trajektorien außer die für x0=0. [1]
In unserem Beispiel ist dieser Befund ziemlich einleuchtend: Wenn man am Anfang keine Mäuse hat, dann nimmt die 'Bevölkerung' auch nicht zu. Sobald man jedoch 2 Mäuse hat und diese sich vermehren, wächst die Bevölkerung an.[2] Auch die Tatsache, dass sich die Bevölkerungszahl irgendwann bei einem bestimmten Wert einpendelt, nämlich genau dann, wenn in jeder Generation ebenso viele Mäuse sterben wie neu geboren werden, ist gut vorstellbar. Aber mathematisch ist das keine Begründung.
Was ist nun der Unterschied zwischen diesen beiden Punkten? Betrachtet man die Funktion genauer, fällt auf, dass sie im Ursprung sehr viel steiler ist als im Punkt x*. Die Steigung im Ursprung ist größer als 45 und bei x* kleiner. Da die Steigung einer Funktion entscheidet, welcher Wert schneller zunimmt, x oder y (beziehungsweise x oder f(x)), legt sie das Verhältnis von "Länge des vertikalen Wegs" (berechnen von f(x)) zur "Länge des horizontalen Wegs" (setzen von f(x)=x) beim graphischen Iterieren fest. Wenn die Kurve steiler ist als 45, steigt y schneller an als x, die Trajektorie wird also immer weiter vom Ausgangswert 'weggedrückt', je häufiger man iteriert. Ein Kriterium für einen stabilen oder attraktiven Fixpunkt x* ist also -1<f'(x*)<1. Dies trifft im Beispiel zu:
f'(x) = 2.8(1-2x)
f'(x*) = 2.8(1-20.64285714) = -0.8
(x*) = tan f'(x*)-38.66
Der Steigungswinkel in diesem Punkt beträgt ungefähr -38.66.
Erhöht man den Parameter a (beziehungsweise λ), wird der Winkel an der Stelle x* immer größer. Was passiert nun, wenn der Winkel größer als 45 wird? Dies ist, wie die Rechnungen (siehe Anhang 1, Rechnung 1) zeigen, für a>3 der Fall. Betrachten wir die Funktion für a=3.1 (λ=0.775):
2-er Zyklus für a=3.1

Bild 7 (oben): f(x)=3.1x(1-x) mit Iteration bis x100; das System konvergiert auf einen Zyklus der Periode 2 an den Stellen x1*0.558014130 und x2*0.76456652.

Bild 8 (unten): f(f(x)), die Iterierte von f(x)=3.1x(1-x); sie schneidet die Winkelhalbierende des 1.Quadranten auch an den Stellen x1* und x2*.

Nun hat sich der Fixpunkt gespalten und die Trajektorie bleibt in einem Zyklus der Periode 2 'hängen'. Diese Spaltung eines Fixpunktes nennt man Bifurkation. Die Werte x1*0.558014130 und x2*0.76456652 wechseln sich ab. Auch hier stellt sich also ein Gleichgewicht ein, wobei das System diesmal zwischen zwei Zuständen hin und her pendelt. Der Zweier-Zyklus ist ebenfalls ein Attraktor. Alle Trajektorien (außer denen für 0 und x*) enden in diesem Zyklus, beziehungsweise nähern sich ihm asymptotisch an.
Um herauszufinden, was hier passiert ist, betrachtet man eine zweite Funktion g(x)=f(f(x)). Dies ist die Iterierte von f(x), denn sie gibt als Funktionswert immer den Wert nach der ersten Iteration eines Wertes x an. Im Beispiel wäre das also immer die 'übernächste Mäusegeneration'. Da f(x1*)=x2* und f(x2*)=x1* muss gelten g(x1*)=x1* und g(x2*)=x2*, also muss die Iterierte von f(x) an den Stellen x1* und x2* Fixpunkte besitzen. Dies bestätigt der Funktionsgraph (s.o. Bild 8).

Die Iterierte hat nun also vier Fixpunkte. Zwei Repulsoren an den Stellen 0 und x* und zwei Attraktor-Fixpunkte an den Stellen x1* und x2*. Man sieht auch deutlich, dass die Kurvensteigung an den Stellen 0 und x* größer, und bei x1* und x2* kleiner als 45 ist. Erhöht man nun den Parameter a, entfernen sich x1* und x2* von einander. Die Steigung in x1* muss sogar gleich der Steigung in x2* sein, denn die graphische "Länge der Bewegung in x- und y-Richtung" von x1* aus muss genau so groß sein wie von x2* aus, da man sonst von x2* nicht wieder zu x1* käme, und umgekehrt. Bei a3.449499 (λ0.86) wird auch der Steigungswinkel in x1* und x2*(auf der Iterierten) größer als 45. Nun spalten sich x1* und x2* in je ein weiteres Fixpunktpaar und es entsteht ein Vierer-Zyklus:
4-er Zyklus für a=3.48

Bild 9: f(x)=3.48x(1-x) mit Iteration bis x100; die Fixpunkte x1* und x2* aus Bild 7 haben sich gespalten und das System konvergiert auf einen Zyklus der Periode 4.

Diese vier neuen Punkte bifurkieren dann wiederum bei a3.544090 und so weiter.
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