2. Der Verhulstprozess

Ein zur mathematischen Behandlung geeigneteres Beispiel für einen solchen nichtlinearen Zusammenhang ist die als Verhulstprozess bekannte Funktion y=ax(1-x). Sie besteht aus zwei Teilen, die miteinander konkurrieren; während der erste Term a · x den Funktionswert y um den Proportionalitätsfaktor a erhöht, verringert der zweite Term (1-x) den Funktionswert um so mehr, je größer x ist. Auch hier folgt aus einer Zunahme der Größe x weder notwendigerweise eine Zu- noch eine Abnahme der Größe y.
Diese Funktion f(x)=ax(1-x) wird auch als logistische Wachstumsfunktion oder logistische Parabel bezeichnet. Sie findet besonders in der Biologie Anwendung, zum Beispiel zur Beschreibung der Entwicklung der Bevölkerungszahl einer Mäusepopulation auf begrenztem Lebensraum. Der Parameter a heißt Wachstumsfaktor und wird aus Geburten- und Sterberate zusammengesetzt. Die logistische Gleichung sagt also aus, dass die Bevölkerungszahl, der jeweils nächsten Generation, proportional ist zum Produkt aus Wachstumsfaktor a, momentaner Bevölkerung x und dem "Abstand" der momentanen von der maximalen Bevölkerungszahl (1-x). Einen solchen Rückbezug einer Größe auf sich selbst nennt man Rückkopplung.
Für einen festen Parameter a kann nun die Entwicklung der "Mäuse-Bevölkerung" verfolgt werden. Dazu geht man von irgend einer Anfangspopulation x0 aus und iteriert die Gleichung. Iterieren heißt, den Ausgabewert oder Funktionswert einer Gleichung, also f(x), wieder in die Gleichung als x-Wert einzusetzen, man bildet also f(f(x)). Diesen Vorgang kann man beliebig oft wiederholen, sofern der Funktionswert der Gleichung auch immer in ihrer Definitionsmenge liegt. Aus diesem Grund wird die Definitionsmenge auf das Intervall [0;1] beschränkt und festgelegt, dass der Parameter a nur zwischen 0 und 4 liegen darf. So wird der Funktionswert nie größer als 1 und liegt in der eingeschränkten Definitionsmenge von f(x). Die jeweiligen neuen Funktionswerte werden durchnummeriert x0, x1, x2, x3, ..., xn. Die Gleichung der Funktion kann also auch so geschrieben werden:
Funktionsterm allgemein
Für a=2.8 sieht die Funktion folgendermaßen aus:
Funktionsgraph für a=2.8

Bild 1: f(x)=2.8x(1-x)

Die Nullstellen dieser Funktion sind immer 0 und 1. Ihr Maximum hat sie an der Stelle x=0.5 und es gilt:
Maximum der Funktion
Die allgemeine Funktionsgleichung wird auch häufig mit a = 4·λ geschrieben:
Funktionsterm mit Lambda
wobei nun gelten muss 0 λ 1 (weil 0 a 4). λ kann direkt aus dem Funktionsgraphen abgelesen werden (siehe Bild 1: grüne Linie).
Jetzt kann die Entwicklung der fiktiven Mäusepopulation für beliebig viele Generationen simuliert werden. Da die x-Werte immer zwischen 0 und 1 liegen, ist x=1 die maximale Bevölkerungszahl.
Nehmen wir an, der Wachstumsparameter a sei nun wie oben 2.8 (beziehungsweise λ=0.7). Die Anfangspopulation (der Startwert) wird erst eher klein gewählt, denn am Anfang sind es nur einige wenige Mäuse, also zum Beispiel x0=0.02 (das heißt 2% der maximalen Population).
Dann ergibt sich für die erste Iteration (Generation) der folgende Wert:
Berechnung der 1. Generation
für die nächste Iteration:
Berechnung der 2. Generation
In der folgenden Tabelle sind die ersten 20 Iterationswerte angegeben:

Die ersten 20 Iterationen Funktionsgraph für a=2.8 mit 20 Iterationen

Bild 2: f(x)=2.8x(1-x) mit graphischer Iteration bis x20.

Die Werte aus der Tabelle zeigen, dass sich das System immer mehr einem Wert um 0.64 nähert. Graphisch lässt sich dies noch verdeutlichen. Dazu zeichnet man in Bild 1 noch die Winkelhalbierende des 1.Quadranten, da auf dieser y=x gilt. Am Schnittpunkt mit dem Graphen der Funktion gilt dann f(x)=x also xn+1=xn.
Um den Funktionswert eines bestimmten xn graphisch zu bestimmen, muss man nur vom jeweiligen x-Wert auf der x-Achse (Abszisse) eine senkrechte Linie nach oben ziehen und dort wo die Linie den Graphen schneidet, kann man den Funktionswert f(x), beziehungsweise xn+1 auf der y-Achse (Ordinate) ablesen (dies entspricht dem Berechnen von f(xn)). Nun setzt man xn+1=xn, indem man vom Schnittpunkt aus horizontal zur Winkelhalbierenden geht (denn hier ist y=x). Geht man von dort aus wieder senkrecht nach oben bis zum Funktionsgraph, bekommt man f(xn+1)=xn+2.
Dieses Vorgehen ist äquivalent zum rechnerischen Iterieren und kann ebenfalls beliebig oft wiederholt werden. Bild 2 zeigt dies für die errechneten Werte.
Die blaue Iterationslinie heißt Trajektorie, eine Linie welche die Entwicklung eines Systems beschreibt.
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